방정식 \(\log_{\sqrt{3}} (x-6) = \log_3 (x^2-16) + \log_{\frac{1}{3}} (x+4)\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 \(n\)에 대하여 \(x\)에 대한 이차부등식
\(x^2 - (n^2+12n+13)x + 12n^3 + 13n^2 \le 0\)
을 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 개수를 \(a_n\)이라 할 때, \(\sum_{k=1}^{15} a_k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x^3}{x^2} = 5, \quad \lim_{x \to 0} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) f(x)\right\} = 4\] 를 만족시킬 때, \(\lim_{x \to 1} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)}\right\}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

상수항이 \(0\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = |t - f(x)|\)가 \(x=p\)에서 미분가능하지 않은 실수 \(p\)의 개수를 \(h(t)\)라 하자. 두 함수 \(f(x)\), \(h(t)\)와 자연수 \(k\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((0, f(0))\)에서의 접선이 점 \(\left(-\frac{1}{3}, -3\right)\)을 지난다.
(나) 방정식 \(f'(x) = 0\)의 실근은 \(-3k\)와 \(k\)이다.
(다) \(\lim_{t \to 5+} h(t) + \lim_{t \to 5-} h(t) + h(5) = 5\)

삼각형 \(ABC\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\overline{BC} \cos C - \overline{AB} \cos A - \overline{AC} = 0\)
(나) \(\frac{1}{2} \sin A = \sin \frac{A-B+C}{2} \sin C\)

\(\overline{BC} = 7\)일 때, \(\angle A\)와 \(\overline{AB}\)를 각각 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[f(x) + x \int_0^x f'(t) dt - \int_0^x t f'(t) dt = g(x)\] 일 때, \(f(1) + g(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(g(x)\)는 원점 대칭이다.)

정의역이 \(\{x \mid \log_5 \frac{1}{3} \le x \le 2\}\)인 함수 \(y = 25^x - 3 \times 5^{x+2} + 10\)이 \(x = \alpha\)에서 최댓값 \(M\)을 갖고 \(x = \beta\)에서 최솟값 \(m\)을 가질 때, \(\alpha, \beta, M, m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \sum_{k=1}^{45} \frac{\sqrt{x+k+45}-\sqrt{x+k}}{x\sqrt{x}}\) 에 대하여, \(g(x)\)는 \(\lim_{x\to \infty} f(x)g(x) = 2025\)를 만족시키는 이차함수이다. 방정식 \(g(x) = 0\)의 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\)가 \(\alpha + \beta = 25, \alpha\beta = 5\)를 만족시킬 때, \(g(x)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 모든 \(f(1)\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 5x^4 + x^2 \int_{-1}^{1} f(t)dt - \left|\int_{0}^{1} f(t)dt\right|\) 이다.

첫째항이 \(1\)이고 공차가 자연수인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{21} \frac{a_{k+1}-a_k}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}\)의 값이 \(50\) 이하의 자연수가 되도록 하는 공차들의 집합을 \(A\)라 하자. 집합 \(A\)의 모든 원소의 개수를 \(\alpha\), 모든 원소의 합을 \(\beta\)라 할 때, \(\alpha\)와 \(\beta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

사각형 \(ABCD\)가 한 원에 내접하고 \(\overline{AD} = \overline{CD} = 3\), \(\overline{BC} = 8\), \(\angle BAD = \frac{2}{3}\pi\) 일 때, \(\sin(\angle ADC)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} ax + b & (x \le -1) \\ x^2 - 2x + 2 & (-1 \lt x \lt 3) \\ x^3 - 3x^2 + cx + d & (x \ge 3) \end{cases}\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 함수 \(g(x) = ax^3 + (b+t)x^2 + cx + d\)가 극값을 가지도록 하는 실수 \(t\)의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\)에 대한 부등식 \[x^2 - x \log_3 \left( \sqrt[3]{9}n \right) + \log_3 \sqrt[3]{n^2} \lt 0\] 을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

\(\cos ( / 2 \pi+\theta)-\sin (\pi-\theta)=\frac{4}{5}\) 일 때, \(\frac{\cos (-\theta)- / }{\sin \theta} 1+\cos \theta \sin (-\theta)\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(t\) 에 대하여 직선 \(y=t\) 가 \(0\le x \lt 2\pi\) 에서 함수 \(f(x)=|4\cos x-2|\) 의 그래프와 만나는 점의 개수를 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(g(t)\) 가 \(t=a\) 에서 불연속인 실수 \(a\) 의 값을 작은 것 부터 순서대로 나열한 것이 \(a_1, a_2, a_3\) 이다. \(a_1, a_2, a_3\) 의 값과 \(f(x)=a_1\) 을 만족시키는 \(x\) 의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 \(a\)에 대하여 함수 \[f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\]의 그래프의 점근선과 함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 그래프는 만나지 않는다. 정의역이 \(\left\{x \,\middle|\, \frac{17}{8} \le x \le 6\right\}\) 일 때, 모든 자연수 \(a\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 \(1\)인 모든 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \[\int_{-1}^{3} f(x)dx\] 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(|f(1)| + |f(-1)| = 0\)
(나) \(-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1\)

삼차함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) 가 \(\lim x \to 2\frac{1\int_{1}^{x} t f'(t) dt=20}{x-2}\) 을 만족시킬 때, f(4)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b\) 는 상수이다.)

곡선 \(y = x^3\)과 곡선 \(y = \sqrt{2x}\)가 만나는 원점이 아닌 점을 \(A\)라 할 때, 점 \(A\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. 삼각형 \(AOH\)의 넓이가 \(2^{-\frac{a}{b}}\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이고, \(a\)와 \(b\)는 서로소인 자연수이다.)

\(\dfrac{3}{2}\pi \lt \theta \lt 2\pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(6\cos\theta - \dfrac{1}{\cos\theta} = 1\)일 때, \(\sin\theta\cos\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 자연수인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\[a_{n+1} = \begin{cases} 3a_n + 1 & (a_n\text{이 홀수인 경우}) \\ \dfrac{a_n}{2} & (a_n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}\]
를 만족시킨다. \(a_7 = 4\)일 때, \(S_{20}\)의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. (단, 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 한다.)

\(a_7 = 4\)이므로 \(a_6\)이 홀수이면 \(a_6 = 1\)이고, 짝수이면 \(a_6 = 8\)이다. \(a_6 = 1\)일 때, \(S_6\)의 최솟값은 [①] 이다. \(a_6 = 8\)일 때, \(a_5 + a_6 = \) [②] \( \gt \) [①] 이므로, \(a_6 = 1\)일 때의 \(S_6\)이 최솟값을 갖는다. \(S_6\)이 최솟값을 갖는 수열 \(\{a_n\}\)에서 반복되는 세 수는 [③] 이다. 따라서 \(S_{20}\)의 최솟값은 [④] 이다.

두 다항함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여
\[f(x) = 3x^2 + 2x \int_0^1 tg(t)\,dt, \quad g(x) = -6x + \int_0^1 f(t)\,dt\]
일 때, 방정식 \(f(x) + g(x) = 0\)의 모든 실근의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

두 함수
\[f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x \ge 1) \\ x^2 - ax & (x \lt 1) \end{cases}, \quad g(x) = x^3 + a^2 x^2 - 2x\]
에 대하여 함수 \(f(x)g(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t\) \((t \ge 0)\)에서의 위치 \(x_1, x_2\)가
\[x_1 = 3t^4 - 24t^2 + 51t + d, \quad x_2 = 8t^3 + 6t^2 - 21t\]
이다. 실수 \(t\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 두 점 \(P, Q\) 사이의 거리의 최솟값이 \(3\)일 때, 다음의 풀이 과정을 완성하시오. (단, \(d \le 0\))

두 점 \(P, Q\) 사이의 거리가 최소가 되는 시각은 \(t = \) [①] 이다. 한편, 두 점 \(P, Q\) 사이의 거리는 \(t = \) [②] 에서 최댓값 [③] 을 가지며, 이때 점 \(Q\)의 속도는 [④] 이다.

정의역이 \(\{x | x \ge 0\}\)인 함수 \(f(x) = ax^2\) \((0 \lt a \lt 1)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이가 \(S = \frac{3}{4}\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(x=0\)과 \(x=\) [ ① ] 이다.

따라서 넓이를 정적분으로 나타내면 \(S=\) [ ② ] 이고, 이 적분의 값을 \(a\)에 대한 식으로 쓰면 \(S=\) [ ③ ] 이다. \(S = \frac{3}{4}\)이므로 상수 \(a=\) [ ④ ] 이다.

1이 아닌 서로 다른 두 양수 \(a, b\)에 대하여 두 집합 \(A, B\)를 \[A = \{ 1, \log_a b \}, \quad B = \left\{ \frac{3}{2}, 2, 3\log_2 a - 2\log_2 b \right\}\] 라 하자. \(A \subset B\) 일 때, \(ab^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(kx^2 - (k+2)x + (k+1) = 0\)의 두 근이 \(\sin\theta\)와 \(\cos\theta\)일 때, \(\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(k\)는 상수이고 \(0 \le \theta \le \pi\))

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1 \gt 0\), \(a_4 + a_5 = 0\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+2} = a_{n+1} - a_n\)을 만족시킨다. 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(S_n \lt 0\)을 만족시키는 \(300\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \[f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} & (x \gt 1) \\ \frac{x+b}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} & (x \le 1) \end{cases}\] 가 \(x=1\)에서 연속일 때, 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 위치 \(x_1, x_2\)가 \[x_1 = 3t^3 - 3t^2 + 7t, \quad x_2 = 2t^3 + 3t^2 - 2t\] 이다. 두 점 \(P, Q\)가 동시에 원점을 출발한 후 처음으로 속도가 같아지는 순간 \(t_a\)와 처음으로 만나는 순간 \(t_b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.